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Spirales

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Qu'est-ce qu'une spirale?

Spirales par des équations polaires
... Spirale d'archimède
... Spiral Equiplex
... Plus de Spirales
Clothoïde
Spirales faite en arcs
Spirales faites de segments de ligne
Spirales tridimensionnelles
Loxodrome
Fabriquer une spirale
Ensemble de spirales de Mandelbro
Spirales en métal
Spirales, spirales, spirales
Spirales sur Internet
Références .
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Qu'est-ce qu'une spirale?
Une spirale est une courbe dans le plan ou dans l'espace, qui tourne autour d'un centre d'une manière spéciale.

Des spirales différentes suivent. La plupart d'entre eux sont produits par des formules.

...Spirales par Polar Equations
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spirale d'Archimède
top Vous pouvez faire une spirale par deux mouvements d'un point: il y a un mouvement uniforme dans une direction fixe et un mouvement en cercle à vitesse constante. Les deux mouvements commencent au même point.

.......................... .
(1) Le mouvement uniforme sur la gauche déplace un point vers la droite. - Il y a neuf instantanés. (2) Le mouvement avec une vitesse angulaire constante déplace le point sur une spirale en même temps. - Il y a un point à chaque 8ème tour. (3) Une spirale en tant que courbe vient, si vous dessinez le point à chaque tour.
Vous obtenez des formules analogiques aux équations de cercle. Cercle
... ... Soit P un point d'un cercle avec le rayon R, qui est donné par une équation en position centrale. Il existe trois descriptions essentielles du cercle: (1) équation centrale: x² + y² = R² ou [y = sqr (R²-x²) und y = -sqr (R²-x²)], (2) Forme des paramètres: x (t) = R cos (t), y (t) = R sin (t), (3) équation polaire: r (t) = R.
Vous donnez un point par une paire (rayon OP, angle t) dans l'équation polaire (simple). Le rayon est la distance du point de l'origine (0 | 0). L'angle se situe entre le rayon et l'axe x positif, son sommet dans l'origine.
Spirale Le rayon r (t) et l'angle t sont proportionnels à la spirale la plus simple, la spirale d'Archimède. Par conséquent, l'équation est: (3) équation polaire: r (t) = à [a est constant]. De ce qui suit (2) Forme des paramètres: x (t) = à cos (t), y (t) = à sin (t), (1) équation centrale: x² + y² = a² [arc bronzage (y / x)] ².
... ... La spirale d'Archimède commence dans l'origine et fait une courbe avec trois tours. Les distances entre les branches en spirale sont les mêmes. Plus précis: les distances des points d'intersection le long d'une ligne à travers l'origine sont les mêmes.

... ... Si vous réfléchissez une spirale d'Archimède sur une ligne droite, vous obtenez une nouvelle spirale dans la direction opposée. Les deux spirales vont vers l'extérieur. Si vous regardez les spirales, la gauche forme une courbe vers la gauche, la droite forme une courbe allant à droite.
Si vous connectez les deux spirales par une courbe droite (rouge) ou une courbe courbée, une double spirale se développe.
Spiral Equiplex ( Spirale Logarithmique, spirale de Bernoulli)
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... ... (1) équation polaire: r (t) = exp (t). (2) Forme des paramètres: x (t) = exp (t) cos (t), y (t) = exp (t) sin (t). (3) équation centrale: y = x bronzage [ln (sqr (x² + y²))].La spirale logarithmique va également vers l'extérieur. La spirale présente une caractéristique: chaque ligne commençant par l'origine (rouge) coupe la spirale avec le même angle.

Plus de Spirales
top Si vous remplacer le terme r (t) = à la spirale d'Archimède par d'autres termes, vous obtenez un certain nombre de nouvelles spirales. Il y a six spirales, que vous pouvez décrire avec les fonctions f (x) = x ^ a [a = 2,1 / 2, -1 / 2, -1] et f (x) = exp (x), f ( x) = ln (x). Vous distingue deux groupes en fonction de la façon dont le paramètre t augmente de 0.
... ......... Si le module absolu d'une fonction r (t) augmente, les spirales vont de l'intérieur à l'extérieur et dépassent toutes les limites. La spirale 1 s'appelle spirale parabolique ou spirale de Fermat.

... .... Si le module absolu d'une fonction r (t) diminue, les spirales vont de l'extérieur à l'intérieur. Ils courent généralement vers le centre, mais ils ne l'atteignent pas. Il y a un poteau. Spiral 2 s'appelle le Lituus (personnel tordu).
J'ai choisi des équations pour les différentes formules spirales adaptées au traçage.
Clothoïde
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... .... Le clothoïde ou la spirale double est une courbe dont la courbure croît avec la distance de l'origine. Le rayon de courbure est opposé proportionnel à son arc mesuré à partir de l'origine. La forme de paramètre se compose de deux équations avec les intégrales de Fresnel, qui ne peuvent être résolues qu'à peu près. Vous utilisez la spirale de Cornu pour décrire la distribution d'énergie de la diffraction de Fresnel à une seule fente de la théorie des ondes.

Spirales faite en arcs
top Half spirales en cercle
... ... Vous pouvez ajouter des demi-cercles qui se développent étape par étape pour obtenir des spirales. Les rayons ont les rapports 1 : 1,5 : 2 : 2,5 : 3 .....

Fibonacci Spiral
... ... Dessinez deux petits carrés l'un sur l'autre. Ajouter une séquence de carrés croissants dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Dessinez des quartiers autour des carrés (noir). Ils forment la spirale Fibonacci.
La spirale de Fibonacci s'appelle après ses nombres. Si vous prenez la longueur des côtés dans l'ordre, vous obtenez la séquence 1,1,2,3,5,8,13,21, ... Ce sont les nombres Fibonacci, que vous pouvez trouver par la formule récursive a (n) = a (n-1) + a (n-2) avec [a (1) = 1, a (2) = 1, n> 2].
Spirales faites de segments de ligne
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... ... La spirale est faite par segments de ligne avec les longueurs 1,1,2,2,3,3,4,4, .... Les lignes se rencontrent à angle droit.

... ... Dessinez une spirale dans un passage à niveau avec quatre lignes droites croisées, qui forment des angles de 45 °. Commencez par la ligne horizontale 1 et pliez la ligne suivante perpendiculairement à la ligne droite. Les segments de ligne forment une séquence géométrique avec le rapport commun sqr (2). Si vous dessinez une spirale dans un faisceau de lignes droites, vous approchez de la spirale logarithmique, si les angles deviennent de plus en plus petits.

... ... La prochaine spirale est formée par une chaîne de triangles à angle droit, qui ont un côté commun. L'hypoténuse d'un triangle devient la jambe de l'autre. Le premier lien est un 1-1-sqr (2) -triangle. Les pattes libres forment la spirale. Il est spécial que les triangles touchent les segments de ligne. Leurs longueurs sont les racines des nombres naturels. Vous pouvez vérifier cela avec le théorème de Pythagore. Cette figure s'appelle en spirale ou root escargot ou roue de Theodorus.

... ... Les carrés sont tournés autour de leur centre avec 10 ° et comprimés en même temps, de sorte que leurs coins restent sur les côtés de leur place précédente. Résultat: les coins forment quatre bras en spirale. La spirale est similaire à la spirale de logarithme, si les angles deviennent de plus en plus petits. Vous pouvez également transformer d'autres polygones réguliers, par exemple un triangle équilatéral. Vous obtenez des chiffres similaires.
Cette image me rappelle le langage de programmation LOGO des premiers jours de l'informatique (C64-nostalgie).
Spirales tridimensionnelles
top Hélix
... ... Si vous dessinez un cercle avec x = cos (t) et y = sin (t) et tirez-le uniformément dans la direction z, vous obtenez une spirale spatiale appelée spirale cylindrique ou hélice.

La paire d'images rend possible une vue en 3D.

... ... Réfléchissez la spirale 3D sur un plan vertical. Vous obtenez une nouvelle spirale (rouge) avec la direction opposée. Si vous tenez votre main droite autour de la spirale droite et si votre pouce pointe vers l'axe en spirale, la spirale fonctionne dans le sens des aiguilles d'une montre vers le haut. C'est juste circulaire. Vous devez utiliser votre main gauche pour la spirale gauche. Il est laissé circulaire. La rotation est dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Exemple: Presque toutes les vis ont une rotation dans le sens des aiguilles d'une montre, car la plupart des gens sont droitiers.

... ... Dans la littérature "technique", la spirale circulaire droite est expliquée comme suit: Vous effectuez un triangle à angle droit autour d'un cylindre. Une spirale tournante dans le sens des aiguilles d'une montre se développe, si le triangle augmente vers la droite.

Hélice conique Haut Vous pouvez faire l'hélice conique avec la spirale d'Archimède ou la spirale équiangulaire.

Les paires d'images rendent les vues 3D possibles.

Loxodrome , Spheric Helix
... ... Le loxodrome est une courbe sur la sphère qui coupe les méridiens à angle constant. Ils apparaissent sur la projection Mercator comme des lignes droites. La représentation paramétrique est x = cos (t) cos [1 / bronzage (at)] y = sin (t) cos [1 / tan (at)] z = -sin [1 / tan (at)] (a est constant) Vous pouvez découvrir x² + y² + z² = 1. Cette équation signifie que le loxodrome est couché sur la sphère.
Généralement, il existe un loxodrome à chaque solide réalisé par rotation autour d'un axe.
Fabriquer une spirale
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... ... Une bande de papier devient une spirale, si vous tirez la bande entre le pouce et le bord d'un couteau, en appuyant fortement. La spirale devient une boucle où la gravité est présente.
Vous utilisez cet effet pour décorer les extrémités des matériaux synthétiques, tels que les bandes colorées étroites ou les rubans utilisés dans l'emballage cadeau. Je suppose que vous devez expliquer cet effet de la même manière qu'une barre bimétallique. Vous créez une barre bimétallique en collant deux bandes, chacune en un métal différent. Une fois que cette barre bimétallique est chauffée, une bande métallique se dilate plus que l'autre, ce qui amène la barre à plier. La raison pour laquelle la bande de papier se plie n'est pas tant à faire avec la différence de température entre le haut et le bas. Le couteau change la structure de la surface du papier. Ce côté devient «plus court». Par ailleurs, une bande de papier se pliera légèrement si vous le maintenez dans la chaleur d'une flamme de bougie.
... ... Forming curls me rappelle un vieux jeu d'enfant: Prenez une fleur de pissenlit et coupez la tige en deux ou quatre bandes, en gardant la tête intacte. Si vous placez la fleur dans de l'eau, de sorte que la tête flotte sur la surface, les bandes de la tige se recourberont. (Faites attention aux points.) Une explication possible: Peut-être l'absorption différente de l'eau de chaque côté des bandes les fait se recroqueviller.

Ensemble de spirales de Mandelbro
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Les coordonnées appartiennent au centre des images.  
Vous trouverez aussi de jolies spirales comme Julia Sets. Voici un exemple:
Vous trouvez plus sur ces graphiques sur ma page Mandelbrot Set .
Spirales en tôle, en métal
top Vous trouverez de belles spirales comme décoration de fenêtres barrées, de clôtures, de portes ou de portes. Vous pouvez les voir partout, si vous regardez autour.
... ... J'ai trouvé des spirales à montrer à New Ulm, Minnesota, États-Unis. Les Américains ayant une ascendance allemande ont construit une copie du monument Herman près de Detmold / Allemagne vers 1900. Les grilles de fer avec de nombreuses spirales décorent les escaliers (photo). En savoir plus sur l'allemand et l'allemand Herman sur Wikipedia-pages (URL ci-dessous)

Les bijoux de costumes prennent également des spirales comme motif.
... ... La spirale d'Annette

Spirales, spirales, spirales
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Les ammonites, les bois de moutons sauvages, la spirale d'eau d'Archimède, la zone de haute ou basse pression, l'agencement des noyaux de tournesol, @ le thermomètre bimétallique, le personnel évêque, le signe de la Bretagne, les cercles d'un aigle de mer, les montées, l'acide lactique rotatif dans le sens des aiguilles d'une montre, des nuages ​​de fumée, de la bobine, du ressort hélicoïdal, du tire-bouchon, des cernes (plantes), de la boucle, de la dépression dans la météorologie, du disque de Festós, du double filament de l'ampoule, de la double hélice de l'ADN, de la double spirale, des rayons d'électrons dans le champ longitudinal magnétique, des électrons en cyclotron, spirale Exner, marque de doigt, cône de sapin, planeur ascendant, rainure d'un enregistrement, tête d'instrument de musique violon, fil de chauffage à l'intérieur d'une plaque chauffante, spirale de chaleur, spirale d'herbe, spirale d'inflation, intestin d'un têtard, spirale de connaissance, escargot de réglisse, spirale de vie, attrapeur de Lorenz, minaret à Samarra (Irak), cor de instrument de musique, corps pendulaire du pendule de Galilei, bande de relief de la colonne de Trajan à Rome ou colonne de Bernward à Hildesheim, escargot de coquelicot, route de montagne de cône , rôle (fil , filetage, câble, tuyau, ruban à mesurer, papier, bandage), filetages, pendule simple à friction, serpent en position de repos, serpent d'Esculape, escargot de l'oreille intérieure, rouleaux, algues à vis, coquille d'escargot, filet d'araignée, livre d'exercices en spirale, nébuleuse en spirale, escalier en colimaçon (p. ex. les deux escaliers en spirale dans le dôme de verre du Reichstag à Berlin), Spirallala ;-), nouilles Spirelli, Spirills (p. ex. bacille du choléra), ressorts de matelas, coffre d'aspiration la mâchoire) du papillon blanc au chou, la queue du cheval de mer, les robinets de conifères, la langue et la queue du chamaeleon, des traces sur CD ou DVD, clefs aigus, défenses de géants, virus, volute, montre ressort et équilibre ressort mécanique horloges, tourbillons, tourbillons.


Spirales sur Internet
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Allemand

Asti BEWEGUNGSFUNktionen Spiralen

DHO Braasch Spiralen als Symbol der Sonnenbahn

Jürgen Berkemeier Fibonacci-Spiralen

Matheprisma Bewegungsfunktionen (Spiralen 1) - ( Spiralen online zeichnen )

Michael Komma Fresnel-Beugung am Einzelspalt ( Cornu-Spirale )

Susanne Helbig, Kareen Henkel und Jan Kriener Spiralen in Naturwissenschaft, Technik und Kunst

Stephan Jaeckel und Sergej Amboni Spiralen in Natur, Technik und Kunst (Référencé: Heitzer J, Spiralen, ein Kapitel phänomenaler Mathematik, Leipzig, 1998)

Wikipédia Spirale , Klothoide , Logarithmische Spirale , Fibonacci Folge , Loxodrome , Ulam-Spirale Hermannsdenkmal , Hermann Heights Monument


Anglais

Ayhan Kursat ERBAS Spiral Equiplex

Bob Allanson C'est une spirale logarithmique

David Eppstein (Geometry Junkyard) Spirales , (Liens)

Eric W. Weisstein (MathWorld) Spirales : Spiral d'Archimède , Cercle Involute , Spirale Conique, Spirale de Cornu , Fractale de Curlicue , Spiral de Fermat , Hélice , Spirale Hyperbolique, Spirale Logarithmique , Problème de souris , Spiral de Nielsen, Spirale Polygonal, Spirale Prime, Spiral Rational , Coquillage , Spirale Sphérique

Hop David (Hop's Gallery) Sphère de Riemann , corne de Ram , tuile spirale

Ivars Peterson Poursuite des courbes de poursuite

Jan Wassenaar spirale

John Macnab Sculptures

Keith Devlin La double hélice

Mark Newbold Illumination des spirales à contre-rotation

Richard Parris (Freeware-Program WINPLOT) Le site officiel officiel est fermé. Téléchargement du programme allemand à Heise par exemple

Xah Lee Archimède , Lituus , Cornu Spiral

Wikipédia Spirale , spirale d'Archimède, spirale de Cornu, spirale de Fermat, spirale hyperbolique , Lituus , spirale logarithmique , Spirale de Fibonacci, spirale d' or , Rhumb-Line , spirale d'Ulam , Hermann Heights Monument , Hermannsdenkmal


français Robert FERRÉOL ( COURBES 2D )

SPIRALE

COURBES 3D (SPHÉRO-CYLINDRIQUE, SPIRALE CONIQUE DE PAPPUS, SPIRALE CONIQUE DE PIRONDINI, SPIRALE SPHÉRIQUE)


 


Références
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(1) Martin Gardener: Unsere gespiegelte Welt, Ullstein, Berlin, 1982 [ISBN 3-550-07709-2]

(2) Rainer und Patrick Gaitzsch: Computer-Lösungen für Schule und Studium, bande 2, Landsberg am Lech, 1985

(3) Jan Gullberg: Mathématiques - À partir de la naissance des nombres, New York / London (1997) [ISBN 0-393-04002-X]

(4) Khristo N. Boyadzhiev: Spirales et Conchospirals dans le Vol des Insectes, The College Mathematics Journal, vol.30, n ° 1 (janvier 1999) pp.23-31

(5) Jill Purce: la spirale mystique - Journey of the Soul, Tamise et Hudson, 1972, réimprimé en 1992


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